Question

已知函數f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx．求函數f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：函數f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定義域為（0，+∞），從而討論去絕對值號，再求導以確定函數的單調性及極值，從而解得．

解答： 解：函數f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定義域為（0，+∞），
當a≥0時，f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx，
f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

；
令f′（x）=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
經檢驗，x=

a2+4 -a

4

是函數f（x）的極值小點；
當a＜0時，f（x）=

-x2-ax- 1 2 lnx，0＜x＜-a x2+ax- 1 2 lnx，x≥-a

；
當0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

，當x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

；
當-

2

2

＜a＜0時，
當0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

＜0，當x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

先負后正；
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
故x=

a2+4 -a

4

是函數f（x）的極值小點；
當-2≤a≤-

2

2

時，
當0＜x＜-a時，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

≤0，當x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

≥0；
故x=-a是函數f（x）的極值小點；
當a＜-2時，
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=

-a+ a2-4

4

，x=

-a- a2-4

4

；
經檢驗，x=

-a+ a2-4

4

是函數f（x）的極值大點，
x=

-a- a2-4

4

是函數f（x）的極值小點；
且當

-a- a2-4

4

＜x＜-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＜0，當x≥-a時，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＞0；
故x=-a是函數f（x）的極值小點．

點評：本題考查了絕對值函數的應用，導數的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于中檔題．