Question

【題目】已知函數 為自然對數的底數．
（1）求曲線 在 處的切線方程；
（2）關于 的不等式 在 上恒成立，求實數 的值；
（3）關于 的方程 有兩個實根 ，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對函數 求導得 ，

∴ ，

又 ，

∴曲線 在 處的切線方程為 ，即 ；

（2）

記 ，其中 ，

由題意知 在 上恒成立，下求函數 的最小值，

對 求導得 ，

令 ，得 ，

當 變化時， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴ ，

∴ ，

記 ，則 ，

令 ，得 ．

當 變化時， 變化情況列表如下：

		1
	+	0	-
		極大值

∴ ，

故 當且僅當 時取等號，

又 ，從而得到 ；

（3）

先證 ，

記 ，則 ，

令 ，得 ，

當 變化時， 變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴ ，

恒成立，即 ，

記直線 分別與 交于 ，

不妨設 ，則 ，

從而 ，當且僅當 時取等號，

由（2）知， ，則 ，

從而 ，當且僅當 時取等號，

故 ，

因等號成立的條件不能同時滿足，故 ．

【解析】（1）利用導數求切線方程；（2）設 ，將題目轉化為g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，然后討論g（x）的單調性，表示出其最小值，其最小值大于等于0即可；（3）先證 ，設 ，根據h（x）的單調性求出最小值，得h（x）恒大于零，即 。記直線 分別與 交于 ，令 ，則 ，得 ，因等號成立的條件不能同時滿足，故 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．