Question

【題目】已知數列滿足.

（1）若數列是等差數列，求的值；

（2）當時，求數列的前項和；

（3）若對任意，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由等差數列的定義，若數列是等差數列，則，，結合，得即可解得首項的值；（2）由，用代得，兩式相減，得出數列是等差數列，進一步得到數列也是等差數列，下面對進行分類討論：①當n為奇數時，②當n為偶數時，分別求和即可；（3）由（2）知的通項公式，①當為奇數時，②當為偶數時，分別解得的取值范圍，最后綜上所述，即可得到的取值范圍．

（1）若數列是等差數列，則＝＋(n－1)d，＝＋nd．

由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．

（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．

兩式相減，得－＝4．

所以數列是首項為，公差為4的等差數列．

數列是首項為，公差為4的等差數列．

由＋＝1，＝2，得＝－1．

所以．

①當n為奇數時，＝2n，＝2n－3．

＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋

＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．

②當n為偶數時，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．

所以．

（3）由（2）知，．

①當n為奇數時，＝2n－2＋，＝2n－1－．

由≥5，得－≥＋16n－10．

令＝＋16n－10＝＋6．

當n＝1或n＝3時，＝2，所以－≥2．

解得≥2或≤－1．

②當n為偶數時，＝2n－3－，＝2n＋．

由≥5，得＋≥＋16n－12．

令＝＋16n－12＝＋4．

當n＝2時，＝4，所以＋≥4．

解得≥1或≤－4．

綜上所述，的取值范圍是．