Question

求證：

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n-1

2n

＜

1

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式．

解答： 證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

，右邊=

1

3

，左邊＜右邊，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，即

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k-1

2k

＜

1

2k+1

，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k-1

2k

×

2k+1

2k+2

＜

1

2k+1

×

2k+1

2k+2

=

2k+1

2k+2

．
要證

2k+1

2k+2

≤

1

2k+3

，只要證（2k+1）（2k+3）≤（2k+2）²，即證4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
也就是證3≤4，此式顯然成立．
故

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2k+1

2k+2

＜

1

2(k+1)+1

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
綜上所述，對(duì)于任意n∈N^*不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式時(shí)，中間可穿插比較法、分析法和反證法等思想方法，是中檔題．