Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*）．
（1）證明：數列{

an

2n

}是等差數列；
（2）設b_n=

4n

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），可得n=1時，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，即可證明；
（2）由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），∴n=1時，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4)，
化為an=2an-1+3×2n-1，
變形為

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，
∴數列{

an

2n

}是等差數列，首項為

a1

2

=1，公差為

3

2

；
（2）解：由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，
∴b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=

1

6

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]
=

1

6

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

1

12n+8

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．