Question

已知函數y=f（x）的圖象與方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲線重合，則下列四個結論：
①f（x）是增函數．
②函數f（x）的圖象是中心對稱圖形．
③函數f（x）的圖象是軸對稱圖形．
④函數f（x）有且只有一個零點．
其中正確的是

 

（多填、少填、錯填均得零分）．

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：函數y=f（x）的圖象與方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲線重合．當x，y≥0時，方程化為

x2

25

-

y2

9

=1，其圖象為雙曲線在第一象限的部分（包括點（5，0））；當x＞0，y＜0時，方程化為

x2

25

+

y2

9

=1，其圖象為橢圓線在第四象限的部分（包括點（0，-3））；當x＜0，y＞0時，方程化為-

x2

25

-

y2

9

=1，此時無圖形；當x＜0，y＜時，方程化為-

x2

25

+

y2

9

=1，其圖象為雙曲線在第三象限的部分．畫出圖象即可得出．

解答： 解：函數y=f（x）的圖象與方程

x•|x|

25

-

y•|y|

9

=1的曲線重合．
當x，y≥0時，方程化為

x2

25

-

y2

9

=1，其圖象為雙曲線在第一象限的部分（包括點（5，0））；
當x＞0，y＜0時，方程化為

x2

25

+

y2

9

=1，其圖象為橢圓線在第四象限的部分（包括點（0，-3））；
當x＜0，y＞0時，方程化為-

x2

25

-

y2

9

=1，此時無圖形；
當x＜0，y＜時，方程化為-

x2

25

+

y2

9

=1，其圖象為雙曲線在第三象限的部分．
畫出圖象：可得：
①f（x）是增函數．
②函數f（x）的圖象不是中心對稱圖形．
③函數f（x）的圖象不是軸對稱圖形．
④函數f（x）有且只有一個零點（5，0）．
綜上可得：其中正確的是 ①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的圖象及其性質、分類討論的思想方法，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力，屬于中檔題．