Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）CM與BN交于F，連接EF．

由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，

所以F是BN的中點．

因為E是AB的中點，

所以AN∥EF．

又EF平面MEC，AN平面MEC，

所以AN∥平面MEC．

（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．

又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，

∴DN⊥面ABCD，

如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則D（0，0，0），E（ ，0，0），C（0，2，0），P（ ，﹣1，h），

=（ ，﹣2，0）， =（0，﹣1，h），

設平面PEC的法向量為 =（x，y，z）．

則 ，∴ ，

令y= h，∴ =（2h， h， ），

又平面ADE的法向量 =（0，0，1），

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得h= ，

∴在線段AM上是否存在點P，當h= 時使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ．

【解析】（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；

（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為 ．再通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用坐標法進行求解判斷．

【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．