Question

已知圓C：x²+y²+2x-3=0．
（1）求過點P（1，3）且與圓C相切的直線方程；
（2）問是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直線的圓經過原點？若存在，請求出的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）根據直線和圓相切的等價條件即可求與圓相切的直線方程；
（2）聯立直線方程和圓的方程，利用消元法轉化為一元二次方程進行求解即可．

解答： 解：（1）圓C的方程可化為（x+1）²+y²=4，即圓心為（-1，0），半徑為r=2．
若過點P的直線斜率不存在，即x=1，與圓C相切，滿足條件；…（1分）
若過點P的切線斜率存在，設為k，
則切線的方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，
∴

|-k-0-k+3|

k2+1

=2，解得k=

5

12

．
∴切線方程為5x-12y+31=0．
綜上，所求的切線方程為x=1或5x-12y+31=0．…（4分）
（2）假設直線存在，設方程為y=x+b，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若以l被圓C截得的弦AB為直線的圓經過原點，則OA⊥OB，
即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
聯立

y=x+b x2+y2+2x-3=0

消去y得2x²+（2b+2）x+b²-3=0，
則判別式△=（2b+2）²-4×2×（b²-3）=-4b²+8b+28＞0，
得1-2

2

＜b＜1+2

2

，
則x₁+x₂=b-1，x₁x₂=

b2-3

2

，
則y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=

b2-3

2

+b（-b-1）=

b2-2b-3

2

，
由

b2-3

2

+

b2-2b-3

2

=0得b²-b-3=0，
解得b=

1+ 13

2

或b=

1- 13

2

，
檢驗都滿足條件，
故直線方程為y=x+

1+ 13

2

或y=x-

1- 13

2

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，根據直線和圓相切的條件，以及聯立方程組法是解決本題的關鍵．