Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，且∠ABC=

π

2

．
（1）求證：BC∥平面AB₁C₁；
（2）求證：平面A₁ABB₁⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據BC∥B₁C₁，且B₁C₁?平面AB₁C₁，BC?平面AB₁C₁，依據線面平行的判定定理推斷出BC∥平面AB₁C₁．
（2）平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，推斷出平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，又平面A₁ABB₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，A₁B₁⊥C₁B₁，C₁B₁?平面AB₁C₁，根據面面垂直的性質推斷出平面A₁ABB₁⊥平面AB₁C₁．

解答： 證明：（1）∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁?平面AB₁C₁，BC?平面AB₁C₁，
∴BC∥平面AB₁C₁．
（2）∵平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵平面A₁ABB₁∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁B₁，A₁B₁⊥C₁B₁，
∴C₁B₁?平面AB₁C₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面AB₁C₁．

點評：本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定定理．注重了對基礎知識的考查．