Question

若函數f（x）=

x+3

x+1

，則f（2）+f（

1

2

）=

 

，記f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+…+f（1024）=m，f（

1

2

）+f（

1

4

）+f（

1

8

）+…+f（

1

1024

）=n，則m+n=

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的表達式進行計算即可，猜想并證明f（x）+f(

1

x

)=4即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

x+3

x+1

，
∴f（2）+f（

1

2

）═

2+3

2+1

+

1 2 +3

1 2 +1

=

5

3

+

7

3

=

12

3

=4，
 則f（x）+f(

1

x

)=

x+3

x+1

+

1 x +3

1 x +1

=

x+3

x+1

+

1+3x

1+x

=

4(1+x)

1+x

=4，
f（1）=2，
∵f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+…+f（1024）=m，
∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（1024）=m-f（1）=m-2，
∵f（

1

2

）+f（

1

4

）+f（

1

8

）+…+f（

1

1024

）=n，
∴兩式想加得512×4=m+n-2，
即m+n=2050，
故答案為：4，2050

點評：本題主要考查函數值的計算，根據條件證明等式f（x）+f(

1

x

)=4是解決本題的關鍵．