Question

已知函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x在x=3處的切線平行與x軸．
（1）求a；
（2）求函數f（x）的單調區域；
（3）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導f′（x），再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（2）由（1）確定函數f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間；
（3）由（2）得到函數的極值點，求得極小值和極大值得答案．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

x+1

+2x-10，
f′（3）=

a

4

+6-10=0，
解得：a=16；
（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=

2(x2-4x+3)

x+1

，
當x∈（-1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調增區間是（-1，1），（3，+∞）．f（x）的單調減區間是（1，3）；
（3）由（2）知，f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21．
且當x從右側無限接近于-1時，f（x）趨于-∞，當x無限大時，f（x）趨于+∞，
∴若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，則b的取值范圍是（32ln2-21，16ln2-9）．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，考查利用求導研究函數的單調性，解題的關鍵是弄清函數在某點取得極值的條件，同時考查了運算求解的能力，是中檔題．