Question

函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x

（x＞0，a∈R）．
（1）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）的圖象存在唯一零點？若存在，試求出a的取值集合，若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)，再討論導數(shù)的正負從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）假設(shè)存在，f（x）有唯一極小值f（a）=lna-a+1，也是最小值，令令g（a）=lna-a+1，討論g（a）的單調(diào)性以確定最大值僅有一個，從而得解．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．
當a≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＞0時，x∈（0，a）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，
當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
（2）假設(shè)存在正實數(shù)a滿足題意．
由（1）知，f（x）有唯一極小值f（a）=lna-a+1，也是最小值，
當lna-a+1=0時，函數(shù)y=f（x）的圖象存在唯一零點．
令g（a）=lna-a+1，則g′(a)=

1

a

-1=

1-a

a

，
當0＜a＜1時，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當a＞1時，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以當a=1時，g（a）取極大值，也是最大值，g（a）_max=g（1）=0，
故滿足lna-a+1=0的a只有唯一值1，
故a的取值集合為{1}．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的判斷，屬于中檔題．