Question

現有六名籃球運動員進行傳球訓練，由甲開始傳球（第一次傳球是由甲傳向其他五名運動員中的一位），若第n次傳球后，球傳回到甲的不同傳球方式的種數記為a_n．
（1）求出a₁、a₂的值，并寫出a_n與a_n-1（n≥2）的關系式；
（2）證明數列{

an

5n

-

1

6

}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（3）當n≥2時，證明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

10

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）第n-1次傳球后，不同傳球方式種數為5^n-1，不在甲手中的種數為5^n-1-a_n-1，由此能求出a₁、a₂的值，并寫出a_n與a_n-1（n≥2）的關系式．
（2）由a_n=-a_n-1+5^n-1，得

an

5n

-

1

6

=-

1

5

(

an-1

5n-1

-

1

6

)，由此能證明數列{

an

5n

-

1

6

}是以-

1

6

為首項，-

1

5

為公比的等比數列，從而能求出an=

5n+5(-1)n

6

．
（3）當n（n≥3）為奇數時，則n-1為偶數，

1

an-1

+

1

an

=

6

5n-1+5

+

6

5n-5

=

3

10

[1-(

1

5

)n-1]＜

3

10

；當n（n≥2）為偶數時，則n+1為奇數，從而(

1

a2

+

1

a3

)…+(

1

an

+

1

an+1

)＜

3

10

，由此能證明當n≥2時，

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

＜

3

10

．

解答： （本小題滿分13分）
（1）解：a₁=0，a₂=5，
第n-1次傳球后，不同傳球方式種數為5^n-1，
不在甲手中的種數為5^n-1-a_n-1，
∴當n≥2時，an=5n-1-an-1…（5分）
（2）解：由a_n=-a_n-1+5^n-1，得

an

5n

-

1

6

=-

1

5

(

an-1

5n-1

-

1

6

)，
又

a1

5

-

1

6

=-

1

6

，
則數列{

an

5n

-

1

6

}是以-

1

6

為首項，-

1

5

為公比的等比數列．
從而

an

5n

-

1

6

=-

1

6

•(-

1

5

)n-1，
故an=

5n+5(-1)n

6

．…（9分）
（3）證明：當n（n≥3）為奇數時，則n-1為偶數，

1

an-1

+

1

an

=

6

5n-1+5

+

6

5n-5

=6•

5n-1+5n

5n-1•5n+5•5n-5•5n-1-25

=6•

5n-1+5n

5n-1•5n+4•5n-25

＜6•

5n-1+5n

5n-1•5n

=6(

1

5n-1

+

1

5n

)

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

=(

1

a2

+

1

a3

)+…+(

1

an-1

+

1

an

)
＜6[(

1

52

+

1

53

)+…+(

1

5n-1

+

1

5n

)]
=6

1 25 [1-( 1 5 )n-1]

1- 1 5

=

3

10

[1-(

1

5

)n-1]＜

3

10

當n（n≥2）為偶數時，則n+1為奇數，
從而(

1

a2

+

1

a3

)…+(

1

an

+

1

an+1

)＜

3

10

綜上，當n≥2時，

1

a2

+

1

a3

…+

1

an

＜

3

10

．…（13分）

點評：本題考查a_n與a_n-1（n≥2）的關系式的求法，考查數列{

an

5n

-

1

6

}是等比數列，考查數列{a_n}的通項公式的求法，考查不等式的證明，注意構造法的合理運用．