Question

已知函數f（x）=

1

4

x²+ax+

a

2

，
（1）當a=1時，解不等式f（x）≥

7

4

；
（2）若函數f（x）在（-∞，-4）上是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）當|x|≤2，記函數f（x）的最小值為g（a），求出g（a）的解析式，并求出關于a的方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1在（-1，1）上有兩個不等的實數根時，實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，不等式f（x）≥

7

4

可化為

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，從而解得；
（2）由函數f（x）在（-∞，-4）上是減函數可知對稱軸在-4的右側，從而解得；
（3）討論對稱軸的位置，從而求f（x）的最小值為g（a），g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化為-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，從而求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，不等式f（x）≥

7

4

可化為

1

4

x²+x+

1

2

≥

7

4

，
解得，x≥1或x≤-5；
（2）∵函數f（x）在（-∞，-4）上是減函數，
∴-

a

2× 1 4

≥-4，
解得，a≤2；
（3）①當-

a

2× 1 4

≤-2，即a≥1時，
f（x）在[-2，2]上單調遞增，
故g（a）=f（-2）=1-2a+

a

2

=-

3

2

a+1；
②當-

a

2× 1 4

≥2，即a≤-1時，
f（x）在[-2，2]上單調遞減，
故g（a）=f（2）=1+2a+

a

2

=

5

2

a+1；
③當-2＜-

a

2× 1 4

＜2，即-1＜a＜1時，
g（a）=f（-2a）=-a²+

a

2

；
故g（x）=

5 2 a+1，a≤-1 -a2+ a 2 ，-1＜a＜1 - 3 2 a+1，a≥1

方程g（a）=a²-

3a

2

+2m-1可化為
-a²+

a

2

=a²-

3a

2

+2m-1，
即m=-a²+a+

1

2

=-（a-

1

2

）²+

3

4

，
∵-1＜a＜1，
∴-

3

2

＜m≤

3

4

．

點評：本題考查了二次函數與二次方程及分段函數的應用，屬于中檔題．