Question

關于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）有實數解
（1）求a、b取值范圍
（2）求實根的最大值與最小值．

Answer 1

考點：復數相等的充要條件

專題：數系的擴充和復數

分析：（1）由關于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有實數解，可得x²-2x-2ab=a+b-x=0，化為（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．．
（2）由于x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，即可得出．

解答： 解：（1）∵關于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有實數解，
∴x²-2x-2ab=a+b-x=0，
∴（a+b）²-2（a+b）-2ab=0，
化為a²+b²-2a-2b=0，即（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a，b∈[1-

2

，1+

2

]．
（2）x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，
∴實根的最大值與最小值分別為4，0．

點評：本題考查了復數的運算法則、復數相等、三角函數的值域、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．