Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，那么“左特征點”M一定是（　　）

• A、橢圓左準線與x軸的交點
• B、坐標原點
• C、橢圓右準線與x軸的交點
• D、右焦點

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：新定義,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出點M（m，0）為橢圓的左特征點，根據橢圓左焦點，設出直線AB的方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，得k_AM+k_BM=0，利用韋達定理，求出結論．

解答： 解：如圖所示，設M（m，0）為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左特征點，橢圓的左焦點F（-c，0），
可設直線AB的方程為x=ky-c（k≠0）
代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得：b²（ky-c）²+a²y²=a²b²，
即（a²+b²k²）y²-2kcb²y+b²c²-a²b²=0，
（a²+b²k²）y²-2kcb²y-b⁴=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得y₁+y₂=

2kcb2

a2+b2k2

，y₁y₂=-

b4

a2+b2k2

∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-c）+y₂（ky₁-c）-（y₁+y₂）m=0，
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+c）=0，
∴2k•（-

b4

a2+b2k2

）-

2kcb2

a2+b2k2

•（m+c）=0
∵k≠0，∴b²+c（m+c）=0，
即m=-

b2

c

-c=-

a2

c

，
∴M（-

a2

c

，0）；
即點M是橢圓左準線與x軸的交點．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓性質的應用問題以及直線與橢圓相交關系的處理問題，解題時應靈活設出直線AB的方程，以避免討論直線的斜率是否存在，是中檔題．