Question

菱形的一個內角為60°，邊長為4，一橢圓經過它的兩個頂點，并以它的另外兩個頂點為焦點，則橢圓的標準方程是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的焦點是菱形60°角的兩個頂點，根據橢圓的定義可知2a=8，由圖及已知條件可得b=BO=BC•sin30°=2，a=OC=2

3

，即可求出橢圓方程．

解答： 解：不妨設以菱形內角為60⁰的一對頂點為端點的對角線所在的直線為x軸，
建立直角坐標系．
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C'，C為焦點，
由圖及已知條件可得，
b=BO=BC•sin30°=2，c=CO=

16-4

=2

3

，a=

b2+c2

=4，
故所求之橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1．
若以B'，B為焦點，則同樣方法求得橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．
故答案為：

x2

16

+

y2

4

=1或

y2

16

+

x2

4

=1或

x2

16

+

y2

12

=1或

y2

16

+

x2

12

=1．

點評：此題是個基礎題．考查橢圓的定義和標準方程即簡單的幾何性質，應用了待定系數法求橢圓方程，體現了數形結合的思想方法．