Question

已知函數f（x）=m（x-1）e^x+x²（m∈R）
（1）若m=-1，求函數f（x）的單調區間；
（2）當m≤-1時，求函數f（x）在[m，1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）若m=-1，f（x）=-（x-1）e^x+x²，f′（x）=-x（e^x-2），由導數的正負確定函數的單調區間；
（2）令f′（x）=mxe^x+2x=x（me^x+2）=0解得，x=0或x=ln（-

2

m

），從而討論m以確定函數的單調性，從而求函數f（x）在[m，1]上的最小值．

解答： 解：（1）若m=-1，f（x）=-（x-1）e^x+x²，
f′（x）=-x（e^x-2），
則當x＞ln2或x＜0時，f′（x）＜0，
f（x）=-（x-1）e^x+x²在（-∞，0），（ln2，+∞）上單調遞減；
同理，f（x）=-（x-1）e^x+x²在（0，ln2）上單調遞增；
（2）f′（x）=mxe^x+2x=x（me^x+2），
∵m≤-1，
∴令x（me^x+2）=0解得，x=0或x=ln（-

2

m

），
①若-2＜m≤-1，
則f（x）在[m，0]上單調遞減，在[0，ln（-

2

m

）]單調遞增，在[ln（-

2

m

），1]上單調遞減；
又∵f（0）=-m，f（1）=1，
故f_min（x）=1；
②若m=-2，則f（x）在[m，1]上單調遞減，
故f_min（x）=f（1）=1；
③若m＜-2，
則f（x）在[m，ln（-

2

m

）]上單調遞減，在[ln（-

2

m

），0]單調遞增，在[0，1]上單調遞減；
又∵f（ln（-

2

m

））=ln²（-

2

m

）-2ln（-

2

m

）+2＞1，f（1）=1，
故f_min（x）=1；
綜上所述，f_min（x）=1．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．