Question

【題目】已知真命題：“函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）﹣b 是奇函數”．
（1）將函數g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數h（x）= 圖象對稱中心的坐標；
（3）已知命題：“函數 y=f（x）的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數a和b，使得函數y=f（x+a）﹣b 是偶函數”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）．

Answer 1

【答案】
（1）解：平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，

由于函數y=x3﹣3x是奇函數，由題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心的坐標是（1，﹣2）．

（2）解：設h（x）= 的對稱中心為P（a，b），

由題設知函數h（x+a）﹣b是奇函數．

設f（x）=h（x+a）﹣b，則f（x）= ﹣b，

即f（x）= ．

由不等式 的解集關于原點對稱，則﹣a+（4﹣a）=0，得a=2．

此時f（x）= ﹣b，x∈（﹣2，2）．

任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數h（x）= 圖象對稱中心的坐標是（2，1）．

（3）解：此命題是假命題．

舉反例說明：函數f（x）=x的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱圖象，

但是對任意實數a和b，函數y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數．

修改后的真命題：“函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數y=f（x+a）是偶函數”．

【解析】（1）先寫出平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函數y=x3﹣3x是奇函數，利用題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心．（2）設h（x）= 的對稱中心為P（a，b），由題設知函數h（x+a）﹣b是奇函數，從而求出a，b的值，即可得出圖象對稱中心的坐標．（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數f（x）=x的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱圖象，但是對任意實數a和b，函數y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數．修改后的真命題：“函數y=f（x）的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數y=f（x+a）是偶函數”．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對函數單調性的判斷方法的理解，了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．