Question

【題目】在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．

（1）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【解析】

（1）直線方程與拋物線方程聯立，消去后利用韋達定理判斷的值是否為3，從而確定此命題是否為真命題；

（2）根據四種命題之間的關系寫出該命題的逆命題，然后再利用直線與拋物線的位置關系知識來判斷其真假.

（1）證明：設過點的直線交拋物線于點，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

此時，直線與拋物線相交于，

所以，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，其中，

，得，

則，

又因為，

所以，

綜上所述，命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）逆命題是：“設直線與拋物線＝2相交于A、B兩點，如果＝3，那么該直線過點”，該命題是假命題，

例如：取拋物線上的點，此時＝3，直線AB的方程為，而T（3，0）不在直線AB上.