Question

【題目】已知函數．

（1）若對恒成立，求的取值集合；

（2）在函數的圖像上取定點,記直線AB的斜率為K，證明：存在，使恒成立；

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）對一切x＞0，f（x）≤恒成立，即對一切x＞0，恒成立，構造新函數，求出函數的最值，即可求得結論；

（2）要證明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要證明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）內有解即可．

（1）解：對一切x＞0，f（x）≤恒成立，

即對一切x＞0，恒成立，

令，則

令g′（x）>0，可得0＜x＜；令g′（x）<0，可得x＞，

∴x＝時，g（x）取得最大值g（）

∴；

令，，

在上單調遞減，在在上單調遞增，

∴，又，

∴

∴的取值集合；

（2）證明：由題意，k

要證明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要證明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）內有解即可

令h（x）＝f′（x）﹣k，只要證明h（x）在（x1，x2）內存在零點即可

∵h（x）在（x1，x2）內是減函數，只要證明h（x1）＞0，h（x2）＜0

即證0，0

令F（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞0），∵F′（t）＝1，∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增

∴函數在t＝1時，取得最小值0，∴F（t）≥0

∵0且；0且1

∴0，0

∴結論成立．