Question

已知函數f（x）=sin2x+acos2x圖象的一條對稱軸是x=

π

12

，則下列說法中正確的是（　　）

• A、f（x）的最大值為1-

  3

• B、f（x）在[0，

  π

  2

  ]上單調遞增
• C、f（x）在[-

  π

  4

  ，0]上單調遞增
• D、（

  π

  12

  ，0）為函數f（x）的對稱中心

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：將函數y=f（x）化簡整理，得f（x）=

1+a2

sin（2x+θ），由x=

π

12

是圖象的對稱軸，得θ=

π

3

+kπ（k∈Z），可解得a的值，從而即可得f（x）的解析式，從而根據正弦函數的性質逐一判斷即可得解．

解答： 解：∵根據輔助角公式，得f（x）=sin2x+acos2x=

1+a2

sin（2x+θ），其中θ是滿足tanθ=a一個角
∵函數y=f（x）圖象的一條對稱軸是x=

π

12

，
∴f（

π

12

）是函數的最值，得2•

π

12

+θ=

π

2

+kπ（k∈Z）
由此可得：θ=

π

3

+kπ（k∈Z），得a=tanθ=

3

∴f（x）=

1+a2

sin（2x+θ）=2sin（2x+

π

3

+kπ）（k∈Z），
∴f（x）的最大值為2，故A不正確；
∴由2sin（2×

π

12

+

π

3

+kπ）≠0，可知D不正確；
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

+kπ≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的單調遞增區間為：x∈[kπ-

5π

12

-

kπ

2

，kπ+

π

12

-

kπ

2

]，（k∈Z），當k=0時，有x∈[-

5π

12

，

π

12

]，
由于[-

π

4

，0]?[-

5π

12

，

π

12

]，
故選：C．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數公式的應用，三角函數的圖象與性質，綜合性強，屬于中檔題．