Question

函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數，例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數，下列命題：
①函數f（x）=|x|（x∈R）是單函數；
②指數函數f（x）=lgx（x∈（0，+∞））是單函數；
③若x∈D且y=cosx是單函數，則D=（0，π）；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數；
⑤若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．
其中的真命題是

 

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的定義及單函數的定義，我們易得單函數即一一對應的函數，進而逐一分析四個答案，即可得到答案

解答： 解：對于①，若f（x）=|x|，則f（x₁）=f（x₂）時x₁=x₂，或x₁=-x₂，故①錯誤；
對于②，f（x）=lgx是R上的增函數，當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，故②正確；
對于③，x∈D且y=cosx是單函數，則D=（0，π）；或D=（-π，0）也可以，故③錯誤；
對于④，假若f（x₁）=f（x₂）時有x₁≠x₂，這與單調函數矛盾，故④正確；
對于⑤，若f（x）為單函數，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），則根據逆否命題的等價性可知，故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查的知識點是命題真假的判斷與應用，其中正確理解單函數的定義，是解答本題的關鍵．