Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60º, M為AB邊上不與端點重合的動點，且CM與DA分別延長后交于點N,若以菱形的對角線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，并設BM＝2t （0＜t＜1）．

（1）試用t表示與,并求它們所成角的大小；

（2）設f（t）＝·，g（t）＝at＋4－2a（a＞0），分別根據以下條件，求出實數的取值范圍：

①存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2）；

②對任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）．

 

Answer 1

（1）；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）過點作坐標軸的垂線段，由菱形的邊長為2，，為邊上不與端點重合的動點，，可得點的坐標，進而可得向量的坐標，由，可得的長，進而得到點坐標，可得向量的坐標，結合向量夾角公式，可得他們的夾角；（2）由（1）可得的解析式，分別求出兩個函數的值域；①若存在，使得成立，則只要兩函數的值域與存在公共元素即可，②對任意，恒存在，使得成立，則時，函數必取遍函數值域中的所有值，此即，從而可得取值范圍．

試題解析：（1） 過點M作坐標軸的垂線段，則依題設易求得

M點的坐標為：M（, 1－t） ⇒＝（, 1－t），··· ⑴

依題設知：△ABD為正三角形，故＝（0, －1），由此知：

＝－＝（, 2－t），······ ⑵

又依題設知：△BCM∽△ANM ⇒ ＝＝＝⇒ AN＝,又∠NAx＝30º,

以求得，yN＝AN·sin30º＝，且xN＝＋AN·cos30º＝，由此可得：＝（,），

又＝（0, 1），⇒ ＝－＝（,）．······ ⑶

由⑵，⑶兩式得：·＝2（），且||||＝4（）．

故cos＜，＞＝，又＜，＞∈[0,π] ⇒ ＜，＞＝60º為所求．

（2）由（1）知：f（t）＝2（），且由0＜t＜1知：f（t）＞2⇒函數y＝的值域為A＝（0,1）．

另由a＞0知：函數y＝g（t），t1∈（0,1）的值域為：B＝（4－2a,4－a）．

①若存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2） 成立，則只要兩函數的值域A＝（0,1）與B＝（4－2a,4－a）

存在公共元素即可．此時A與B間的關系有以下三種可能：

（1） A⊆B時，則必 ⇒ 2≤a≤3；

（2） A∩B≠ 時，則0＜4－2a＜1，或0＜4－a＜1，⇒＜a＜2，或3＜a＜4；

（iii） B⊆A時，則必 ⇒a無解． 綜上，＜a＜4，為所求．

②對任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）成立，則t∈（0,1）時，函數y＝g（t）必取遍函數y＝值域A＝（0,1） 中的所有值，此即A⊆B，故由①知：2≤a≤3為所求．

考點：函數的圖象和性質，平面向量共線，夾角，數量積．