Question

【題目】已知橢圓，焦距為2，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根據(jù)焦距和離心率求，再求即得；

（2）由題意，四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，則直線為圓與圓的公共弦所在的直線，求出直線的方程，求出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)，則.設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理、弦長公式就能求出的面積的最大值.

（1）由題意， ，解得，由，解得;

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意，得四點(diǎn)共圓，該圓的方程為，

又圓的方程為，兩圓方程相減，得直線的方程為，

令，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.

設(shè)，則，因此最大， 就最大，

由題意直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

所以，

又直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則，即，

，

令，則，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，因此有；

所以，當(dāng)時取等號.

故面積的最大值為3