Question

【題目】如圖，是圓柱的直徑，是圓柱的母線，，，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).

（1）求三棱錐體積的最大值；

（2）若，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）三棱錐的高為定值，要根據(jù)三棱錐體積公式可知，要使得體積最大，就要底面積最大，又因?yàn)檫?/span>為定值，故當(dāng)到的距離取得最大值時(shí)，底面積最大，故此時(shí)棱錐的體積最大；

（2）反向延長(zhǎng)至，使得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線時(shí)，距離最短，則為最小值.

（1）三棱錐高，，點(diǎn)到的最大值為底面圓的半徑，

則三棱錐體積的最大值等于.

（2）將繞著旋轉(zhuǎn)到使其共面，且在的反向延長(zhǎng)線上，連接，與的交點(diǎn)為，此時(shí)最小，為；

由，，且易知，由勾股定理知，因?yàn)?/span>，所以，則，；

，則是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故，所以的最小值等于4.