Question

某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益函數為R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

，其中x是儀器的產量（單位：臺）；
（1）將利潤f（x）表示為產量x的函數（利潤=總收益-總成本）；
（2）當產量x為多少臺時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）利潤=收益-成本，由已知分兩段當0≤x≤400時，和當x＞400時，求出利潤函數的解析式；
（2）分段求最大值，兩者大者為所求利潤最大值．

解答： 解：（1）當0≤x≤400時，f(x)=400x-

1

2

x2-100x-20000=-

1

2

x2+300x-20000
當x＞400時，f（x）=80000-100x-20000=60000-100x
所以f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400

…（7分）
（2）當0≤x≤400時f(x)=-

1

2

x2+300x-20000=-

1

2

(x-300)2+25000
當x=300時，f（x）_max=25000，…（10分）
當x＞400時，f（x）=60000-100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）
所以當x=300時，f（x）_max=25000
答：當產量x為300臺時，公司獲利潤最大，最大利潤為25000元．             …（15分）

點評：本題考查函數模型的應用：生活中利潤最大化問題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．