Question

【題目】已知數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足 ，若n∈N*時，anbn+1﹣bn+1=nbn ．
（Ⅰ）求{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設 ，求{Cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵anbn+1﹣bn+1=nbn．

當n=1時，a1b2﹣b2=b1．

∵ ，

∴a1=3，

又∵{an}是公差為2的等差數列，

∴an=2n+1，

則（2n+1）bn+1﹣bn+1=nbn．

化簡，得

2bn+1=bn，即 = ，

所以數列{bn}是以1為首項，以 為公比的等比數列，

所以bn=（ ）n﹣1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n+1，

所以 = = （ ﹣ ），

所以Sn=c1+c2+c3+…+cn

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）

= ．

【解析】（1）當n=1時，解出,根據題意得出的通項公式，代入遞推公式不難得出的通項公式，（2）寫出的通項公式，進行列項求和，得出.
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．