Question

（1）已知點(diǎn)A（1，1），B（2，2），點(diǎn)P在直線y=

1

2

x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）曲線y=2x-x³在橫坐標(biāo)為-l的點(diǎn)處的切線為l，求點(diǎn)P（3，2）到直線l的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)P（2t，t），由兩點(diǎn)間距離公式表示出|PA|²+|PB|²的關(guān)于參數(shù)t的表達(dá)式，再利用函數(shù)的相關(guān)知識求解出函數(shù)的最小值，即得出|PA|²+|PB|²取得最小值與坐標(biāo)；
（2）由于曲線y=2x-x³在橫坐標(biāo)為-1的點(diǎn)處的切線為l，將-1代入求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出y=2x-x³的導(dǎo)數(shù)，將-1代入求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式求出切線的方程，整理成一般式，用公式求距離．

解答： 解：（1）設(shè)P（2t，t），
則|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-18t+10
當(dāng)t=

9

10

時，|PA|²+|PB|²取得最小值，此時有P(

9

5

，

9

10

)．
|PA|²+|PB|²取得最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(

9

5

，

9

10

)；
（2）∵y=2x-x³，∴y'=2-3x²，
又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，故切點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-1，y'=-1，
故切線的方程是y+1=-（x+1），即切線的方程是x+y+2=0
所以點(diǎn)P（3，2）到直線l的距離d=

|3+2+2|

2

=

7 2

2

點(diǎn)評：本題（1）考點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離公式，考查用兩點(diǎn)間距離公式建立起相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，由未知向已知轉(zhuǎn)化是解決問題的一個實(shí)用的技巧．（2）考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，解題的關(guān)鍵是求熟練掌握用導(dǎo)數(shù)求切線斜率的方法及點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程．