Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）設AB，PA，BC的中點依次為M、N、T，求證：PB∥平面MNT；
（3）求異面直線AC與PB所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）通過證明CD⊥AD，PA⊥CD推出CD⊥平面PAD，利用平面與平面垂直的判定定理，證明平面PAD⊥平面PCD．
（2）連接MN，MT，NT證明MN∥PB，利用直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面MNT．
（3）說明∠NMT就是異面直線AC與PB所成角（或補角通過求解三角形，即可得到異面直線AC與PB所成的角的余弦值．

解答： （本小題12分）
（1）證明：∵∠BAD=90°，AB∥DC∴CD⊥AD
又∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD，∵PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴CD⊥平面PAD，又∵CD?平面PCD∴平面PAD⊥平面PCD…4′
（2）連接MN，MT，NT；∵M、N分別為AB、AP中點∴MN∥PB
∵MN?平面MNT，PB?平面MNT，∴PB∥平面MNT…7′
（3）解：∵AB中點M，AP中點N，BC中點T，則MN∥PB，MT∥AC
∴∠NMT就是異面直線AC與PB所成角（或補角）．…9′
∵PA=AD=DC=

1

2

AB=1，∴在RT△PAB中，PB=

5

，MN=

1

2

PB=

5

2

在RT△ADC中，AC=

2

，MT=

1

2

AC=

2

2

，在RT△ACT中，AT=

10

2

，
在RT△NAT中，NT=

11

2

，∴在△MNT中，cos∠NMT=-

10

5

故異面直線AC與PB所成的角的余弦值為

10

5

…12′

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面平行的判定定理的應用，異面直線所成角的求法，考查計算能力以及空間想象能力能力．