Question

函數f（x）=a^x-1+log_ax，（a＞0，a≠1）在區間

1

，

2

上的最大值和最小值的和為a，則實數a的值為

 

．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：由已知可知，函數y=a^x-1 和y=log_ax有相同的單調性，通過分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論f（x）的單調性，分別求出其最大（小）值，列出關于a的方程求解．

解答： 解：①當a＞1時，函數y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是增函數，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞增，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=

1

2

（舍去）；
②當0＜a＜1時，函數y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是減函數，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上遞減，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=

1

2

，
綜上，a的值為

1

2

，
故答案為：

1

2

點評：求函數的最值問題，一般利用函數的單調性來求；而對于指對函數研究其單調性時，要分底數a＞1或0＜a＜1進行討論；同時本題還要注意根據a的范圍去掉絕對值符號達到化簡的目的．