Question

函數f（x）=2sin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：令t=sinx，x∈[

π

6

，

5π

6

]，依題意可得y=2t²+2t-

1

2

，t∈[

1

2

，1]，利用其開口方向向上，對稱軸為t=-

1

2

，即可求得其最值

解答： 解：令t=sinx，x∈[

π

6

，

5π

6

]，
依題意可得f（t）=2t²+2t-

1

2

=2（t+

1

2

）²-1，t∈[

1

2

，1]，
∵開口方向向上，對稱軸為t=-

1

2

，
∴函數f（t）在[

1

2

，1]單調遞增，
∴1≤f（t）≤

7

2

，
∴函數f（x）=2sin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域是[1，

7

2

]，
故答案為：[1，

7

2

]，

點評：本題考查三角函數的最值，著重考查二次函數的單調性與最值，考查換元思想的應用，屬于中檔題．