Question

一個頂點是（0，2），且離心率為

1

2

的橢圓的標準方程是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由于橢圓的焦點位置未定，故需要進行分類討論，進而可求橢圓的標準方程．

解答： 解：（1）當橢圓的焦點在x軸上時，∵b=2，

c

a

=

1

2

，b²=a²-c²，
∴a²=

16

3

，
∴橢圓方程為

x2

16 3

+

y2

4

=1．
（2）當橢圓的焦點在y軸上時，∵a=2，

c

a

=

1

2

，b²=a²-c²，
∴解得a²=3．
故橢圓的方程為

x2

3

+

y2

4

=1．
綜上知，所求橢圓的方程為

x2

16 3

+

y2

4

=1或

x2

3

+

y2

4

=1．
故答案為：

x2

16 3

+

y2

4

=1或

x2

3

+

y2

4

=1．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數學思想，屬于基礎題．