Question

已知點P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=(

1

2

)x的圖象上，且數列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數列．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）對數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個5（如在a₁與a₂之間插入2⁰個5，a₂與a₃之間插入2¹個5，a₃與a₄之間插入2²個5，…，依此類推），得到一個新數列{d_n}，設S_n是數列{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據函數解析式求解bn=(

1

2

)an，an=n，bn=(

1

2

)n(n∈N*)即可．
（2）運用遞推得出：新數列中從a₁到a_k共有A_k項：A_k=k+2^k-1-1，求解即可．

解答： 解：（1）∵點P₁（a₁，b₂），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=(

1

2

)x的圖象上，且數列{a_n}是a₁=1，公差為1的等差數列．
∴bn=(

1

2

)an，an=n，bn=(

1

2

)n(n∈N*)
（2）設新數列中從a₁到a_k共有A_k項：A_k=k+2^k-1-1，
當k=10時，A_k＜1000，當k=11時，A_k＞1000，
S₁₀₀₀=a₁+a₂…+a₁₀+5×（990）=5005．

點評：本題考察了數列與函數的綜合，運用常見的數學知識求解，遞推，屬于中檔題．