Question

已知函數f（x）=a^x-bx（a＞0，a≠1）．
（1）若函數y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x，求函數f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，設g（x）=x²-x+m，若存在x₀∈R，使對任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=1時的導數，然后結合題意求得a，b的值，則函數解析式可求；
（2）把存在x₀∈R，使對任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，轉化為對任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，由二次函數求得g（x）的最小值，利用導數求得f（x）的最小值，然后列不等式求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x-bx，
∴f′（x）=a^xlna-b，f′（1）=alna-b，
由函數y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x，得

a-b=e-1 alna-b=e-1

，解得

a=e b=1

．
∴f（x）=e^x-x；
（2）f（x）=e^x-x，g（x）=x²-x+m，
若存在x₀∈R，使對任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，即
對任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，
g(x)min=

4m-1

4

，
f′（x）=e^x-1，當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
∴函數f（x）的極小值也是最小值為f（0）=1．
由

4m-1

4

＜1，解得：m＜

5

4

．
∴實數m的取值范圍是（-∞，

5

4

）．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，考查了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．