Question

若函數

x2-2x-1，(x≥0) x2+mx-1，(x＜0)

是偶函數．
（1）求實數m的值；
（2）作出函數y=f（x）的圖象，并寫出其單調區間；
（3）就實數k的取值范圍，討論函數y=f（x）-k零點的個數．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,函數單調性的判斷與證明,根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，1-2-1=1-m-1，從而解出m；
（2）作出函數圖象，由圖象寫出其單調區間；
（3）由圖象討論函數y=f（x）-k零點的個數．

解答： 解：（1）由題意，
1-2-1=1-m-1，
解得，m=2；
（2）作出函數y=f（x）的圖象如下，

單調減區間：（-∞，-1），（0，1）；
單調增區間：（-1，0），（1，+∞）．
（3）由圖可知，
①當k＜-2時，函數y=f（x）-k沒有零點；
②當k=-2時，函數y=f（x）-k有兩個零點；
③當-2＜k＜-1時，函數y=f（x）-k有4個零點；
④當k=-1時，函數y=f（x）-k有3個零點；
⑤當k＞-1時，函數y=f（x）-k有兩個零點．

點評：本題考查了函數性質的應用及函數圖象的作法，屬于中檔題．