Question

【題目】若定義在上的函數，其圖象是連續不斷的，且存在常數使得對任意的實數都成立，則稱是一個“特征函數”則下列結論中正確的個數為（ ）．

①是常數函數中唯一的“特征函數”；

②不是“特征函數”；

③“特征函數”至少有一個零點；

④是一個“特征函數”；．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：利用新定義“特征函數”，逐個判斷即可得到答案.

詳解：對于①設是一個“特征函數”，則，當時，可以取實數集，因此不是唯一一個常數“特征函數”，故①錯誤；

對于②，∵，∴，即，

∴當時，；時，有唯一解，

∴不存在常數使得對任意實數都成立，

∴不是“特征函數”，故②正確；

對于③，令得，所以，

若，顯然有實數根；若，．

又∵的函數圖象是連續不斷的，∴在上必有實數根，

因此任意的“特征函數”必有根，即任意“特征函數”至少有一個零點，故③正確；

對于④，假設是一個“特征函數”，則對任意實數成立，則有，而此式有解，所以是“特征函數”，故④正確．

綜上所述，結論正確的是②③④，共個．

故選．