Question

已知函數f（x）=ax²-4x+2，
（1）若f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）已知a≤1，若函數y=f（x）-log₂

x

8

在區間[1，2]內有且只有一個零點，試確定實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的對稱軸，從而求出a的值，進而求出函數f（x）的表達式；
（2）設r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]），問題轉化為兩個函數r（x）與s（x）的圖象在區間[1，2]內有唯一交點，通過討論a的范圍，結合函數的單調性，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的對稱軸為x=2，
即-

4

2a

=2，即a=1，
∴f（x）=x²-4x+2．
（2）因為y=f(x)-log2

x

8

=ax2-4x+5-log2x
設r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）
則原命題等價于兩個函數r（x）與s（x）的圖象在區間[1，2]內有唯一交點
當a=0時，r（x）=-4x+5在區間[1，2]內為減函數，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數，
且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，
所以函數r（x）與s（x）的圖象在區間[1，2]內有唯一交點
當a＜0時，r（x）圖象開口向下，對稱軸為x=

2

a

＜0
所以r（x）在區間[1，2]內為減函數，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數，
則由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

 ⇒

a+1≥0 4a-3≤1

 ⇒-1≤a≤1，所以-1≤a＜0，
當0＜a≤1時，r（x）圖象開口向上，對稱軸為x=

2

a

≥2，
所以r（x）在區間[1，2]內為減函數，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數，
則由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

 ⇒

a+1≥0 4a-3≤1

 ⇒-1≤a≤1，所以0＜a≤1，
綜上所述，實數a的取值范圍為[-1，1]．

點評：本題考查了求函數的解析式問題，考查了函數的單調性，考查了分類討論思想，是一道中檔題．