Question

如圖，棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱C₁D₁上的動點，F為棱BC的中點．
（1）求證：直線AE⊥DA₁
（2）求三棱錐D-AEF的體積；
（3）在線段AA₁求一點G，使得直線AE⊥平面DFG．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）先證明直線DA₁⊥平面ABC₁D₁，由此能證明直線AE⊥DA₁．
（2）由V_D-AEF=V_E-ADF，利用等積法能求出三棱錐D-AEF的體積．
（3）在線段AA₁存在點G，且G于A₁重合，使得直線AE⊥平面DFG．取CD中點H，由已知得DF⊥平面AHE，由此能證明AE⊥平面DFG．

解答： （1）證明：∵棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D₁DA是正方形，∴DA₁⊥AD₁，
∵AB⊥平面A₁D₁DA，DA₁?平面A₁D₁DA，
∴AB⊥DA₁，
又AB∩AD₁=A，∴直線DA₁⊥平面ABC₁D₁，
又AE?平面ABC₁D₁，∴直線AE⊥DA₁．
（2）解：∵DD₁⊥平面ADF，DD₁=2，
S_△ADF=

1

2

×AD×AB=2，
∴三棱錐D-AEF的體積V_D-AEF=V_E-ADF=

1

3

×2×2=

4

3

．
（3）解：在線段AA₁存在點G，且G于A₁重合，使得直線AE⊥平面DFG．
由（1）得AE⊥DA₁，
取CD中點H，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，
∴DF⊥AE，
又DF∩A₁D=D，∴AE⊥平面DFG．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查在線段AA₁求一點G，使得直線AE⊥平面DFG的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．