Question

已知函數f（x）=ln（

1

2

+

1

2

ax）+x²-ax（a為常數，a＞0）．
（1）若x=-

1

2

是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）求證：當0＜a≤2時，f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導函數f′（x），由f′（-

1

2

）=0，求出a的值即可．
（2）利用f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0，求出x=0，x=

a2-2

2a

，通過0＜a≤

2

時，f（x）滿足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數；

2

＜a≤2時，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函數．結合

a2-2

2a

-

1

2

≤0，即可證明f（x）在[

1

2

，+∞）上單調遞增．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

，
∴由f′（-

1

2

）=0，
得a²+a-2=0，
∵a＞0，∴a=1.4分
（2）f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0得x=0，x=

a2-2

2a

，
當0＜a≤

2

時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，滿足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數，
當

2

＜a≤2時，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函數．
又因為

a2-2

2a

-

1

2

=

a2-a-2

2a

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，
即

a2-2

2a

≤

1

2

，
即f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數．
所以f（x）在[

1

2

，+∞）上單調遞增.12分

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性的證明，考查分類討論以及轉化思想的應用．