Question

(14分)已知、是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足為坐標(biāo)原點)，，若橢圓的離心率等于
(1)求直線AB的方程；  (2)若的面積等于，求橢圓的方程；
(3)在(2)的條件下，橢圓上是否存在點M使得的面積等于？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

 解： （Ⅰ）由知直線AB經(jīng)過原點，又由
因為橢圓離心率等于，故
橢圓方程寫成，設(shè)所以，
故直線AB的斜率，因此直線AB的方程為 
（Ⅱ）連接AF­₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知，
所以故橢圓方程為 
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得
假設(shè)在橢圓上存在點M使得的面積等于，設(shè)點M到直線AB的距離為d，則應(yīng)有，所以 
設(shè)直線,與AB平行且與AB距離為4，則M在直線上，直線方程為與橢圓方程聯(lián)立消去x得方程
即故在橢圓上不存在點M使得的面積等于

略