Question

函數f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3．
（1）求f（x）的表達式；   
（2）證明f（x）在（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（1）=3方程求解即可，（2）利用導數符號證明即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=3則有a+1=3，解得a=2，所以函數f（x）=2x+

1

x

，（x≠0），
（2）證明：由（1）可知f（x）=2x+

1

x

，則f′（x）=2-

1

x2

，
又∵x∈（1，+∞），
∴0＜

1

x2

＜1，
∴f′（x）=2-

1

x2

＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數的單調性的證明，利用導數證明函數的單調性是常用方法，要熟練掌握．