Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）．若f（x）的圖象過點M（

π

6

，1）及N（

2π

3

，-1），且f（x）在區間[

π

6

，

2π

3

]上時單調的．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象先向左平移t（t＞0）個單位，再向上平移一個單位后所得圖象對應函數為g（x），若g（x）的圖象恰好過原點，求t的取值構成的集合．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意可求得周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π，求得ω的值，由f（x）的圖象過點M（

π

6

，1），解得φ的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）由題意先求得函數g（x）的解析式，由g（x）的圖象過原點，可得sin（2t+

π

6

）=-1，從而可求得t的取值構成的集合．

解答： 解：（1）f（x）的周期是2（

2π

3

-

π

6

）=π，故可求得ω=2．
又f（x）的圖象過點M（

π

6

，1），得2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，得φ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
又0＜φ＜π，得：φ=

π

6

，
所以可得：f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）由題意得g（x）=sin[2（x+t）+

π

6

]+1，
因g（x）的圖象過原點，
所以sin（2t+

π

6

）=-1，得2t+

π

6

=2kπ+

3π

2

，
得t的取值集合是：{t|t=kπ+

2π

3

，k∈Z}．

點評：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．