Question

已知橢圓的離心率為，且兩個焦點和短軸的一個端點是一個等腰三角形的頂點．斜率為的直線過橢圓的上焦點且與橢圓相交于，兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）試用表示△的面積，并求面積的最大值．

Answer 1

 
解：（Ⅰ）依題意可得，，，
又，
可得．
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設直線的方程為，
由可得．
設，
則，．
可得．
設線段中點為，則點的坐標為，
由題意有，
可得．
可得，
又，
所以．
（Ⅲ）設橢圓上焦點為，
則.
，
由，可得．
所以．
又，
所以.
所以△的面積為（）．
設，
則．
可知在區間單調遞增，在區間單調遞減．
所以，當時，有最大值．
所以，當時，△的面積有最大值

略