Question

【題目】已知函數 f (x) = x ex (xR)

（Ⅰ）求函數 f (x)的單調區間和極值;

（Ⅱ）若x (0, 1), 求證: f (2 x) > f (x);

（Ⅲ）若x1 (0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求證: x1 + x2 > 2.

Answer 1

【答案】（1）在()內是增函數, 在()內是減函數.在處取得極大值且（2）見解析(3)見解析

【解析】

（Ⅰ）直接利用函數的導數，求出極值點，判斷導函數的符號，即可求函數f（x）的單調區間及極值；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）求出g（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x，通過x＞1，判斷g（x）在[1，+∞）上是增函數，即可證明當x＞1時，f（x）＞f（2﹣x）；

（Ⅲ）因為x1，x2分別在（0，1）和（1，+∞）利用函數的關系式，證明x1+x2＞2．

解：=（1﹣x）e﹣x

令，則x=1

當x變化時，，f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數

∴f（x）在x=1處取得極大值；

（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）

則g（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2

∴g（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x

∵當時, ,從而

所以,從而函數在是增函數.∵e﹣x＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函數

又∵g（1）=0∴0<x<1時,g（x）<g（1）=0

即當0<x<1時，f（x）<f（2﹣x）

(Ⅲ) 證明:∵

∴

由(Ⅱ)得:

∵

∴

∵在()內是減函數

∴

即