Question

【題目】已知函數在區間上有最大值和最小值，設．

（1）求，的值；

（2）若不等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）若有三個不同的實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由函數，所以在區間上是增函數，故，，由此解得，的值；

（2）由（1）可知，所以令，不等式可化為，，求出的最大值，從而求得取值范圍；

（3）令，則原方程有三個不同的實數解轉化為有兩個不同的實數解，，其中或，，然后運用“三個二次”即：二次函數、二次不等式、二次方程之間的關系列出式子求解得答案．

（1）函數

因為，所以在區間上是增函數，故 ，解得，；

（2）由已知可得，所以令，不等式可化為，因，故，故在上能成立，

記，因為 ，故，

所以的取值范圍是；

（3）令 ()，圖象如下：

則方程變為：，

化簡得：，

設方程有兩個不同的實數解，，

其中或，，記，

則有： ①或 ②，

解①得，；②無解，

實數的取值范圍為.