Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=2，若異面直線A₁A與B₁C所成角的大小為arctan

1

2

，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知得AA₁∥BB₁，從而tan∠CB₁B=

BC

BB1

=

1

2

，進而BB₁=4，由此能求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答： 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=2，
異面直線A₁A與B₁C所成角的大小為arctan

1

2

，
∴AA₁∥BB₁，
∴∠CB₁B為AA₁、B₁C所成的角，
且tan∠CB₁B=

BC

BB1

=

1

2

，…（4分）
∵BC=AB=2，
∴BB₁=4，…（6分）
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=Sh=2²×4=16．…（8分）

點評：本題考查正四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．