Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數，其中為實數.

（1）求實數的值；

（2）用定義證明在上是減函數；

（3）若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由定義域為，且利用奇函數的性質，再找一組互為相反數代入得到另外一個方程，解出的值；（2）用定義設，然后計算的正負來判斷函數單調性；（3）若，根據是單調遞減的奇函數，進行移項變形，列出和的不等式，進而求得實數的取值范圍。

（1）∵是上的奇函數，所以.故，可得.

又，解得.

經檢驗，當且時，，滿足是上的奇函數.

（2）由（1）得.任取實數，且，

則.

∵，∴，且∴，即，

∴函數在上是減函數.

（3）由（1）和（2）知，不等式恒成立，

即恒成立，

故對任意的恒成立，

即對任意的恒成立.

令，易知當時，取得最大值8，∴

故實數的取值范圍是