Question

在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若

m

=（b，

3

cosB），

n

=（sinA，-a），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直時(shí)滿足的條件列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，把b，cosB的值代入得到關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)sinC=2sinA，得到關(guān)系式，聯(lián)立求出a與c的值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）∵

m

=（b，

3

cosB），

n

=（sinA，-a），且

m

⊥

n

，
∴bsinA-

3

acosB=0，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinB•sinA-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，即tanB=

3

，
又0°＜B＜180°，
∴B=60°；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，b=3，
∴a²+c²-ac=9①，
又∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a②，
由①②，解得：a=

3

，c=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×

3

×2

3

•sin60°=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．