Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為M，P是CD延長線上一點，PE切⊙O于點E，連接BE交CD于點F，證明：
（1）∠BFM=∠PEF；
（2）PF²=PD•PC．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，連接OE．利用切線的性質可得：OE⊥PE，于是∠PEF+∠OEF=90°．由已知AB⊥CD，可得∠OBF+∠BFM=90°．由同圓的半徑相等可得∠OBF=∠OEB．即可得出結論．
（2）利用（1）可得∠PEF=∠PFE．于是PE=PF．利用“切割線定理”可得PE²=PD•PC．即可．

解答：證明：（1）如圖所示，連接OE．∵PE切⊙O于點E，∴OE⊥PE，
∴∠PEF+∠OEF=90°．
∵AB⊥CD，∴∠OBF+∠BFM=90°．
∵OE=OB，∴∠OBF=∠OEB．
∴∠BFM=∠PEF；
（2）∵∠BFM=∠PEF，∠BFM=∠PFE，
∴∠PEF=∠PFE．
∴PE=PF．
∵PE切⊙O于點E，∴PE²=PD•PC．
∴PF²=PD•PC．

點評：本題考查了圓的切線的性質、互余角的關系、同圓的半徑相等的性質、切割線定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．